ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

អនុគមន៍ ដេរីវេ
sin(x) cos(x)
cos(x) − sin(x)
tan(x) sec 2(x)
cot(x) − csc 2(x)
sec(x) sec(x)tan(x)
csc(x) − csc(x)cot(x)
arcsin(x) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
arccos(x) \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
arctan(x) \frac{1}{x^2+1}

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺជាវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យា​មួយក្នុងស្វែងរកអត្រាដែលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយធ្វើការផ្លាស់ប្តូរដោយគោរពតាម​អថេរ។ វាក៏ត្រូវបានគេហៅម្យ៉ាងទៀតថាជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតាទូទៅរួមមាន \sin (x) , \cos (x) \, និង  \tan (x) \,

ឧទាហរណ៍៖ ក្នុងគណនា f'(x) \, ដោយធ្វើដេរីរេនៃអនុគមន៍ f(x) = \sin (x) \, ដែលជាការគណនាអត្រាបំលាស់ប្តូរនៃអនុគមន៍ \sin (x) \, នៅត្រង់ចំនុច a មួយ។ តំលៃនៃអត្រានៅត្រង់ចំនុច a គឺផ្តល់អោយដោយ f'(a) \, ។ ការយល់ដឹងអំពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីគោលការណ៍បឋមគឺជាការចាំបាច់ ជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រនិងលីមីត។ គ្រប់អនុគមន៍ទាំងអស់គឺជាប់ទាក់ទងនឹងតំលៃ arbitrary នៃ x ជាមួយនឹងគ្រប់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសំដែងដោយគោរពតាម x ។

f(x)=\sin(x) \implies f'(x)=\cos(x)

ដេរីវេនៃ sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x) and csc(x) និងអនុគមន៍ច្រាស់របស់វា

f(x)=\cos(x) \implies f'(x)=-\sin(x)
f(x)=\tan(x) \implies f'(x) = (\tan(x))' = \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)' = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x) = \sec^2(x)
f(x)=\cot(x) \implies f'(x) = (\cot(x))' = \left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)' = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -(1+\cot^2(x)) = -\csc^2(x)
f(x)=\sec(x) \implies f'(x) = (\sec(x))' = \left(\frac{1}{\cos(x)}\right)' = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)}.\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x)
f(x)=\csc(x) \implies f'(x) = (\csc(x))' = \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)' = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin(x)}.\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = -\csc(x)\cot(x)
f(x)=\arcsin(x) \implies f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
f(x)=\arccos(x) \implies f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
f(x)=\arctan(x) \implies f'(x)=\frac{1}{x^2+1}

សំរាយបញ្ជាក់នៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស និងកូសីនុស

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស

តាមនិយមន័យដេរីរេនៃ f(x) គេបាន៖

f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}

ហេតុនេះបើ f(x) = sin(x) គេបាន

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}

ប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ គេបាន

\sin(A+B)=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B) \, យើងអាចថា
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}

ផ្តុំតួ cos(x) និង sin(x) នោះគេបានដេរីវេក្លាយជា

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h))\over h}

រៀបឡើងវិញនូវតួនិមួយៗ និងធ្វើលីមីត គេបាន

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h))\over h}

ដោយសារ sin(x) និង cos(x) មិនខុសគ្នានឹង h

f'(x)=\cos(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{1-\cos(h)\over h}

តំលៃនៃលីមីត

\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad   និង  \quad \lim_{h\to 0}{1-\cos(h)\over h}

គឺស្មើ ១ និង ០ ។ ដូច្នេះបើ f(x) = sin(x) គេបាន

f'(x)=\cos(x) \,

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុស

តាមនិយមន័យដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) គេបាន៖

f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}

ហេតុនេះបើ f(x) = cos(x) គេបាន

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}

យោងតាមលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ

\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B) \, យើងបាន
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}

ផ្តុំតួ sin(x) និង cos(x) នោះគេបានដេរីវេក្លាយជា

f'(x)=\lim_{h\to 0}{-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)(1-\cos(h))\over h}

រៀបឡើងវិញនូវតួនិមួយៗ និងធ្វើលីមីត គេបាន

f'(x)=-\lim_{h\to 0}{\sin(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\cos(x)(1-\cos(h))\over h}

ដោយសារតែ sin(x) និង cos(x) មិនខុសពី h គេបាន

f'(x)=-\sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \cos(x)\lim_{h\to 0}{1-\cos(h)\over h}

តំលៃនៃលីមីត

\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad  និង  \quad \lim_{h\to 0}{1-\cos(h)\over h}

គឺស្មើនឹង ១ និង ០ ។ ហេតុនេះបើ f(x) = cos(x) គេបាន

f'(x)=-\sin(x) \,

សំរាយបញ្ជាក់ដេរីវេនៃអនុគមន៍តង់សង់

យើងមាន

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

តាង f(x) = \tan (x)  , g(x) = \sin (x) \, និង h(x) = \cos (x) \,

ចំពោះ h(x) \ne 0 \, នោះបានដេរីវេនៃf(x) = \frac{g(x)}{h(x)} កំនត់ដោយ

\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

យោងតាមសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រនៃអនុគមន៍តង់សង់

\tan(x) = {sin(x)\over\cos(x)}

ដោយ

ដេរីវេនៃ g(x)=\sin(x) \, គឺ g'(x)=\cos(x) \,
ដេរីវេនៃ h(x)=\cos(x) \, គឺ h'(x)=-\sin(x) \,

ដោយជំនួសតំលៃនៃដេរីវេ គេបាន

f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)[-\sin(x)]}{\cos^2(x)}

បន្ទាប់ពីធ្វើប្រមាណរួចគេបាន

f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}

ដោយអនុវត្តន៍សញ្ញាណនៃត្រីកោណមាត្រខាងក្រោម

\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \,   និង  \sec(x)=\frac{1}{cos(x)}

គេបាន

f'(x)= \frac{1}{\cos^2(x)}=\sec^2(x)

សំរាយបញ្ជាក់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាស់ត្រីកោណមាត្រ

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសច្រាស់ (អាកស៊ីនុស)

យើងតាង

y=\arcsin x \,

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx គេបាន៖

{d \over dx}\sin y={d \over dx}x
{dy \over dx}\cos y=1
{dy \over dx}=\frac{1}{\cos y}

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ យើងបាន

{dy \over dx}=\frac{1}{\cos (\arcsin x)}

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

{dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

ដូច្នេះ បើ f(x) = arcsin(x) យើងបាន

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសច្រាស់ (អាកកូស៊ីនុស)

យើងតាង

y=\arccos x \,

នោះគេបាន

\cos y=x \,

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx គេបាន៖

{d \over dx}\cos y={d \over dx}x
-{dy \over dx}\sin y=1
{dy \over dx}=\frac{-1}{\sin y}

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ យើងបាន

{dy \over dx}=\frac{-1}{\sin (\arccos x)}

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

{dy \over dx}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

ដូច្នេះ បើ f(x) = arccos(x) យើងបាន

 

f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍តង់សង់ច្រាស់ (អាកតង់សង់)

យើងតាង

y=\arctan x \,

នោះយើងបាន

tan y = x

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx យើងបាន៖

{d \over dx}\tan y={d \over dx}x
{dy \over dx}\sec^2 y=1
{dy \over dx}=\frac{1}{\sec^2 y}

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ តើងបាន

{dy \over dx}=\frac{1}{\sec^2 (\arctan x)}

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

{dy \over dx}=\frac{1}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2}
{dy \over dx}=\frac{1}{x^2+1}

ដូច្នេះ បើ f(x) = arctan(x)

f'(x)=\frac{1}{x^2+1}

វាមានភាពងាយស្រួលជាងដើម្បីទាញបានទំនាក់ទំនង៖ tan(arctan(x))=x \,

ចូរស្វែងយល់អំពីដេរីវេនៃ \tan (x) \, គឺ 1+tan^2(x) \, ។

Advertisements

About rckbook

I'm a person who like reading books in free time.

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out /  ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out /  ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out /  ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out /  ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s