ក្រលាផ្ទៃរង្វង់

ក្រលាផ្ទៃ​រង្វង់​ដែលមានកាំ r កំនត់ដោយរូបមន្ត \ \color{blue} S = \pi r^2

សំរាយបញ្ជាក់

សមីការរង្វង់ដែលមានផ្ចិតស្ថិតនៅត្រង់គល់ O កំនត់ដោយ

\ x^2 + y^2 = r^2

ដែល r ជាកាំ ។ យើងសរសេរ y ជាអនុគមន៍នៃអថេរ x និង ចំនួនថេរ r ។

\begin{align} \frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} &= 1 \\ \Rightarrow \frac{y}{r} & = \sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}\\ \Rightarrow y & = r\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}\end{align}

ដោយស៊ីមេទ្រី ក្រលាផ្ទៃនៃរង្វង់ផ្ចិត O ស្មើនឹងបួនដងនៃក្រលាផ្ទៃរវាង (0, 0) និង (r, 0) ផ្នែកខាងលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស​។ យើងអាចធ្វើអាំងតេក្រាល​ដើម្បីគណនាក្រលាផ្ទៃរង្វង់៖

S = 4 r\int_ 0^r \sqrt{1 - -\frac{x^2}{r^2}} dx

ដើម្បីរកព្រីមីទីវនៃ \sqrt{1 - -\frac{x^2}{r^2}} យើងតាង

\ x = r \sin \theta
\theta = arcsin \frac{x}{r}
\ dx = r \cos \theta d\theta

ហេតុនេះ

S =  4 r\int_0^r \sqrt{1 - -\frac{x^2}{r^2}} dx = 4r \int_0^{\frac{\pi}{2}} r \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cos \theta d\theta

ដោយ​ \ 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta យើងបាន

S = 4r \int_0^{\frac{\pi}{2}} r \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cos \theta d\theta =  4r^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 \theta d\theta

ដោយ \cos^2 \theta = \frac{1}{2} (1 + \cos 2\theta)  យើងបាន

\begin{align} S &=4r^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 \theta d\theta \\ &=  4r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} (1+\cos 2\theta) d\theta \\ & = 2r^2 \theta |_0^{\frac{\pi}{2}} + 2r^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2\theta d\theta \\ &= \pi r^2 + 2r^2 (\sin 2\theta) |_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &= \pi r^2 \end{align}

ដូចនេះក្រលាផ្ទៃរង្វង់ដែលមានកាំ r ស្មើនឹង \ \color{blue} \pi r^2

About rckbook

I'm a person who like reading books in free time.

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s