ចំនួនកុំផ្លិច

ចំនួនកុំផ្លិចcomplex number) ជាចំនួនដែលអាចសំដែងជាទំរង់ a + bi \, ដែល  a \, និង  b \,ជាចំនួនពិត និង i\,ជាឯកតានិមិ្មត (i=  \sqrt{\color{Red}-1} ,\quad i^2= -1)។

ឯកតានិមិ្មត i=  \sqrt{\color{Red}-1} ,\quad i^2= -1

និយមន័យ

 Z=a + bi. \,
a ជាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Real Part)
b ជាផ្នែកនិម្មិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Imaginary part)

ប្រមាណវិធី

i=  \sqrt{\color{Red}-1} ,\quad i^2= -1

  • ផលបូក: \,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • ផលដក: \,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
  • ផលគុណ: \,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i
  • ផលចែក: \,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,

ផ្លង់កុំផ្លិច

លក្ខណៈធរណីមាត្រនៃz និងចំលាស់របស់វា\bar{z}ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

តំលៃដាច់ខាតនៃចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់

\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}
\overline{z\cdot w} = \bar{z}\cdot\bar{w}
\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}
\bar{\bar{z}}=z
\bar{z}=z   ប្រសិនបើ z ជាចំនួនពិតសុទ្ធ
\bar{z}=-z   iប្រសិនបើ z ជាចំនួននិម្មិតសុទ្ធ
|z|=|\bar{z}|
|z|^2 = z\cdot\bar{z}
z^{-1} = \bar{z}\cdot|z|^{-2}   ប្រសិនបើ z មិនស្មើសូន្យ

ប្រភាគនៃចំនួនកុំផ្លិច


\begin{align}
{a + bi \over c + di}& = {(a + bi) (c - di) \over (c + di) (c - di)} = {(ac + bd) + (bc - ad) i \over c^2 + d^2}\\ & = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + i\left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right).\,
\end{align}

ទំរង់ប៉ូលែរ

កូអរដោនេប៉ូលែក្នុងតំរុយដេកាត

x = rcos φ
y = rsin φ

ផ្ទុយមកវិញ

r = \sqrt{x^2+y^2}
\varphi = \arg(z) = arctan\frac{y}{x}

x + iy = re^{i\varphi}\!

ទំរង់ត្រីកោណមាត្រ និង​ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច

a+bi = r(cos\alpha+isin\alpha) \!, ដែល r  \!  ជាម៉ូឌុលនៃ​ a+bi \! ។
 r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\!

cos\alpha = \frac{a}{r} ; sin\alpha = \frac{b}{r}\!

ទ្រឹស្តីបទ :

បើគេមានទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកំផ្លិច z_1\! និង z_2\! ដែល z_1 = r_1(cos\alpha_1 + isin\alpha_1)\! និង z_2 = r_2(cos\alpha_2 + isin\alpha_2)\!គេបាន​

ក)​ z_1z_2 = r_1r_2[cos(\alpha + \alpha) + isin(\alpha_1 + \alpha_2)]\!

ខ) \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[cos(\alpha_1 - \alpha_2) + isin(\alpha_1 - \alpha_2)]\!

ទ្រឹស្តីបទ :

បើ z\! ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន |z|^2 = z \cdot \bar{z}\! ។

លក្ខណៈ

គេអោយ w\! និង z\! ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន

ក)​ |wz| = |w| \cdot |z|\!
ខ) |\frac{w}{z}| = \frac{|w|}{|z|} ; z\ne0\!
គ) |w + z| \le |w| + |z|\!

ស្វ័យគុណទី​ n\!​ នៃចំនួនកុំផ្លិច

គេមាន Z=r(cos\alpha + isin\alpha)\! ។

តាមរូបមន្ត Z_1Z_2 = r_1r_2[cos(\alpha_1+\alpha_2)+isin(\alpha_1+\alpha_2)]\!

គេបាន ZZ = rr[cos(\alpha+\alpha)+isin(\alpha+\alpha)]\!

Z^2 = r^2(cos2\alpha+isin2\alpha)\!

Z^3=Z^2 \cdot Z = (r^2\cdot r)[cos(2\alpha+\alpha)+isin(2\alpha+\alpha)] = r^3(cos3\alpha+isin\alpha)\!

…………………………………………………………………………….

Z^n = Z^{n-1} \cdot Z = r^n(cosn\alpha+isin\alpha)\!

ជាទូទៅ :​

Z^n = [r(cos\alpha + isin\alpha)]^n = r^n(cosn\alpha + isinn\alpha)\! គ្រប់ n \in \mathbb{Z}\! គេទាញបាន (cos\alpha + isin\alpha)^n = (cosn\alpha + isinn\alpha) \!ហៅថា ទ្រឹស្តីបទដឺម័រ។

ឧទាហរណ៍​: គណនា​ (1+i)^{50}\!

តាង z=1+i\! គេបាន z=\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{4} + isin\frac{\pi}{4})\!
តាមទ្រឹស្តីបទដឺម័រ

(i+i)^{50} = \sqrt{2}^{50}[cos(50 \cdot \frac{\pi}{4}) + isin(50 \cdot \frac{\pi}{4})] = 2^{25}(cos\frac{25\pi}{2} + isin\frac{25\pi}{2}) = 2^{25}[cos(12\pi+\frac{\pi}{2}) + isin(12\pi+\frac{\pi}{2})] = 2^{25}(cos\frac{\pi}{2} + isin\frac{\pi}{2}) \!

ដូចនេះ (1+i)^{50}= 2^{25}i = 33554432i\!

រឹសទី n\! នៃចំនួនកុំផ្លិច

បើចំនួនកុំផ្លិចមេនសូន្យ Z​ មានរឹសទី n គឺ W គេបាន W^n = Z\!​។ ទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច Z និង W គឺ  Z = r(cos\theta+isin\theta)\! និង  W = s(cos\alpha+isin\alpha)\!

គេបាន W^n = s^n(cosn\alpha+isinn\alpha)\!

ដោយ W^n = Z\! គេបាន  s^n(cosn\alpha+isinn\alpha) = r(cos\theta+isin\theta)\!

ចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា ម៉ូឌុលរបស់វាក៏ស្មើគ្នាដែរ។

ដូចនេះ s^n = r\! ។ ដោយ 0\!” /> និង 0\!” /> នាំអោយ s = \sqrt[n]{r}\! ។

cosn\alpha + isinn\alpha = cos\theta + isin\theta\!

គេបាន cosn\alpha = cos\theta\! នាំអោយ n\alpha = \theta + 2k\pi \ ; \ \alpha = \frac{\theta + 2k\pi}{n} \ ; \ k \in  \mathbb{Z}\!

ជំនួស \alpha = \frac{\theta + 2k\pi}{n}\! និង s = \sqrt[n]{r}\! ក្នុងទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច W គេបាន w = \sqrt[n]{r}[cos(\frac{\theta + 2k\pi}{n}) + isin(\frac{\theta + 2k\pi}{n})]\! ។

បើ​គេជំនួស k = 0;1;2;…;n − 1 គេបាន n រឹសទី n​ ផ្សេងៗគ្នានៃ Z​ ។

ទ្រឹស្តីបទ :

បើ Z = r(cos\theta + isin\theta)\! ជាចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យ​ ហើយ​ n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាននោះ Z មានរឹសទី n គឺ​ :

w_k = \sqrt[n]{r}[cos(\frac{\theta + 2k\pi}{n}) + isin(\frac{\theta + 2k\pi}{n})]\! បើ k=0;1;2;…;n-1 នោះ Z មានរឹសទី n គឺ w_0;w_1;w_2;...;w_{n-1}\!​ ។

ឧទាហរណ៍ :​ គណនារឹសទី 6 នៃ -1

តាង Z = -1 + 0i គេបាន r = \sqrt{1} = 1 ។

cos\theta = \frac{a}{r} = -1  និង sin\theta = \frac{b}{r} = 0 នាំអោយ θ = π។

Z = -1 + 0i = (cos\pi + isin\pi)\!

n = 6 យើងគណនារឹសទី 6 នៃ​ Z = -1 + 0i ។

w_k = cos(\frac{\pi + 2k\pi}{6}) + isin(\frac{\pi + 2k\pi}{6})\!

w_k = cos(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}) + isin(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3})\! បើ k=0;1;2;3;4;5 គេបាន

k=0​ នាំអោយ w_0 = cos\frac{\pi}{6} + isin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\!

k=1 នាំអោយ w_1 = cos\frac{\pi}{2} + isin\frac{\pi}{2} = i

k=2 នាំអោយ w_2 = cos\frac{5\pi}{6} + isin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i

k=3 នាំអោយ w_3 = cos\frac{7\pi}{6} + isin\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i

k=4 នាំអោយ w_4 = cos\frac{3\pi}{2} + isin\frac{3\pi}{2} = -i

k=5 នាំអោយ w_5 = cos\frac{11\pi}{6} + isin\frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{1}{2}i

About rckbook

I'm a person who like reading books in free time.

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s