ត្រីកោណមាត្រកុំផ្លិច

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ក្នុងចំនួនកុំផ្លិច រូបមន្តអឺលែរចំពោះអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រអាចកំនត់

  • \sin z = \frac {e^{iz} - e^{-iz}} {2i} = \frac {\sinh iz} {i} = \sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^k z^{2k+1}} {(2k+1)!}}
  • \cos z = \frac {e^{iz} + e^{-iz}} {2} = {\cosh iz}  = \sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^k z^{2k}} {(2k)!}}
  • \tan z = \frac {\sin z} {\cos z} = -i  \frac {\sinh iz} {\cosh iz} = -i \tanh iz = -i \frac {e^{iz} - e^{-iz}} {e^{iz} + e^{-iz}}

ដូចគ្នាចំពោះអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

  • \arcsin z = -i \ln \left( i z + \sqrt { 1-z^2} \right)
  • \arccos z = -i \ln \left( z + \sqrt {z^2-1} \right)
  • \arctan z = \frac i 2 \Big( \ln(1 - iz) - \ln(1+iz) \Big)

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រកុំផ្លិច

ខាងក្រោមនេះជាបំណកស្រាយនៃរូបមន្តសំរាប់គណនាកូស៊ីនុសនៃចំនួនកុំផ្លិច

af + ibf = \cos{(a + i.b)} = \frac{e^{i(a + i.b)} + e^{-i(a + i.b)}} {2} = \frac{e^{i.a - b} + e^{-i.a + b}}{2} = \frac{e^{-b}.e^{i.a} + e^{b}.e^{-i.a}}{2} = \frac{e^{-b}}{2}.e^{i.a} + \frac{e^{-b}}{2}.e^{-i.a}
\Rightarrow r_1 = \frac{e^{-b}}{2}          t_1 = a \,                \Rightarrow r_2 = \frac{e^{b}}{2}         t_2 = -a \,
\Rightarrow a_1 = r_1.\cos{t_1} = \frac{e^{-b}}{2}.\cos{a}         b_1 = r_1.\sin{t_1} = \frac{e^{-b}}{2}.\sin{a}
\Rightarrow a_2 = r_2.\cos{t_2} = \frac{e^{b}}{2}.\cos{(-a)} = \frac{e^{b}}{2}.\cos{a}         b_2 = r_2.\sin{t_2} = \frac{e^{b}}{2}.\sin{(-a)} = -\frac{e^{b}}{2}.\sin{a}
\Rightarrow af = a_1 + a_2 = \frac{e^{-b}}{2}.\cos{a} + \frac{e^{b}}{2}.\cos{a} = \cos{a}.[\frac{e^{-b}}{2} + \frac{e^{b}}{2}] = \cos{a}.[\frac{e^{b} + e^{-b}}{2}] = \cos{a}.\cosh{b}
bf = b_1 + b_2 = \frac{e^{-b}}{2}.\sin{a} – \frac{e^{b}}{2}.\sin{a} = \sin{a}.[\frac{e^{-b}}{2} – \frac{e^{b}}{2}] =
\sin{a}.[\frac{-1.(e^{b} – e^{-b})}{2}] = -\sin{a}.\sinh{b}” />
\Rightarrow \cos{(a + i.b)} = \cos{(a)}.\cosh{(b)} - i.\sin{(a)}.\sinh{(b)} \,

ចំពោះអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រផ្សេងទៀត ក៏ដូចគ្នាដែរ។

\tan{z} = \frac{\sin{z}}{\cos{z}}        \cot{z} = \frac{\cos{z}}{\sin{z}}

សូមមើលផងដែរចំពោះសំរាយបញ្ជាក់នៃកូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

af + ibf = \cosh{(a + i.b)} = \frac{e^{a + i.b} + e^{-(a + i.b)}} {2} = \frac{e^{a + i.b} + e^{-a - i.b}}{2} = \frac{e^{a}.e^{i.b} + e^{-a}.e^{-i.b}}{2} = \frac{e^{a}}{2}.e^{i.b} + \frac{e^{-a}}{2}.e^{-i.b}
r_1 = \frac{e^{a}}{2}” />         t_1 = b \,                r_2 = \frac{e^{-a}}{2}” />         t_2 = -b \,
a_1 = r_1.\cos{t_1} = \frac{e^{a}}{2}.\cos{b}” />         b_1 = r_1.\sin{t_1} = \frac{e^{a}}{2}.\sin{b}
a_2 = r_2.\cos{t_2} = \frac{e^{-a}}{2}.\cos{(-b)} = \frac{e^{-a}}{2}.\cos{b}” />         b_2 = r_2.\sin{t_2} = \frac{e^{-a}}{2}.\sin{(-b)} = -\frac{e^{-a}}{2}.\sin{b}
af = a_1 + a_2 = \frac{e^{a}}{2}.\cos{b} + \frac{e^{-a}}{2}.\cos{b} = [\frac{e^{a}}{2} + \frac{e^{-a}}{2}].\cos{b} = [\frac{e^{a} + e^{-a}}{2}].\cos{b} = \cosh{a}.\cos{b}” />
bf = b_1 + b_2 = \frac{e^{a}}{2}.\sin{b} – \frac{e^{-a}}{2}.\sin{b} = [\frac{e^{a}}{2} – \frac{e^{-a}}{2}].\sin{b} = [\frac{e^{a} – e^{-a}}{2}].\sin{b} = \sinh{a}.\sin{b}” />
\cosh{(a + i.b)} = \cosh{(a)}.\cos{(b)} – i.\sinh{(a)}.\sin{(b)} \,” />

ដូចគ្នាដែរចំពោះអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកផ្សេងទៀត

\tanh{z} = \frac{\sinh{z}}{\cosh{z}}        \coth{z} = \frac{\cosh{z}}{\sinh{z}}

About rckbook

I'm a person who like reading books in free time.

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s