ទ្រឹស្តីបទពីក

ពហុកោណ​ដែល​ត្រូវ​បាន​សង់​នៅ​លើ​ក្រលា​ជា​ចំនុចៗ

ទ្រឹស្តីបទពីក (Pick’s theorem) ជាទ្រឹស្តីបទកំនត់រូបមន្តសំរាប់រកក្រលាផ្ទៃនៃ​ពហុកោណ​ដែល​សង់​នៅលើផ្ទៃ​ជាក្រលានៃ​ចំនុច​ដែល​មានចំងាយស្មើៗគ្នា (មានន័យ​ថាជា​ចំនុច​ដែល​មាន​កូអរដោនេ​ជាចំនួនពិត) ហើយ​កំពូល​ទាំងអស់​នៃពហុកោណគឺចំនុចនៃក្រលានោះ។ ទ្រឹស្តីបទនេះផ្តល់នូវរូបមន្តសំរាប់គណនាក្រលាផ្ទៃ \ S នៃ​ពហុកោណ​ជា​អនុគមន៍នៃ \ i ចំនួនចំនុចនៅផ្នែកខាងក្នុងនៃពហុកោណ និង \ bចំនួនចំនុចតាមបណ្តោយបរិមាត្រពហុកោណ (ចំនុចនៅលើជ្រុងនិងកំពូលជុំវិញពហុកោណ) ៖

\color{magenta}S = i + \frac{b}{2} - 1

ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងស្តាំ យើងមានចំនួនចំនុចនៅផ្នែកខាងក្នុងពហុកោណ \ i = 39 និង ចំនួនចំនុចនៅលើបរិមាត្រពហុកោណ \ b = 14

ដូចនេះក្រលាផ្ទៃពហុកោណគឺ

 S = 39 + \frac{14}{2} - 1 = 39 + 7 - 1 = 45

សំគាល់៖ ទ្រឹស្តីបទផ្ទៀងផ្ទាត់តែក្នុងករណីពហុកោណធម្មតាប៉ុណ្ណោះ មាន​ន័យថា​ជាពហុកោណ​ដែល​មាន​តែមួយ​ផ្នែក​មិន​មាន​ប្រហោង​នៅផ្នែក​ខាងក្នុង។

ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ដំបូងដោយ ចច អាឡិចសាន់ដឺ ពីក (Georg Alexander Pick) ក្នុងឆ្នាំ១៨៩៩ ហើយត្រូវបាន​ពន្លាត​បាន​លក្ខណៈ​ទូទៅ​ចំពោះ​ប្រព័ន្ធគោល​បី​និងខ្ពស់ជាង តាមរយៈពហុធា Ehrhart ។ រូបមន្តនេះក៏ជារូបមន្តទូទៅសំរាប់គណនាក្រលាផ្ទៃនៃពហុត័ល (polyhedra) ផងដែរ។

សំរាយបញ្ជាក់

គេមានពហុកោណ P និង ត្រីកោណ T ដែលមានគែមមួយនៅក្នុង P ។ សន្មតទ្រឹស្តីបទពីកពិតចំពោះ P យើងចង់បង្ហាញថាវាពិតចំពោះពហុកោណ PT ផងដែរដោយបន្ថែម T ទៅក្នុង P ។ ដោយ P និង T មានគែមមួយចែករំលែកគ្នា និងគ្រប់ចំនុចស្ថិតនៅ​តាមបណ្តោយគែម​ត្រូវបានដាក់បញ្ចូលគ្នា​ទៅជាចំនុចនៅផ្នែកខាងក្នុង លើកលែងតែចំពោះចំនុចនៅចុងសងខាងនៃគែម ដែលត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងចំនុចទាល់ (ចំនុចនៅតាមបណ្តោយបរិមាត្រ)។ ដូចនេះតាង c ចំនួនចំនុចទាល់ យើងបាន

\ i_{PT} = (i_P + i_T) + (c - 2) និង
\ b_{PT} = (b_P + b_T) - 2(c - 2) - 2

តាមសមីការទាំងពីរខាងលើ យើងបាន

\ (i_P + i_T) = i_{PT} - (c - 2) និង
\ (b_P + b_T) = b_{PT} + 2(c - 2) + 2

ដោយសារយើងសន្មតថាទ្រឹស្តីបទនេះពិតចំពោះពហុកោណ P និងចំពោះត្រីកោណ T ផ្សេងៗគ្នា យើងបាន


\begin{align}
S_{PT} &= S_P + S_T\\
&= (i_P + \frac{b_P}{2} - 1) + (i_T + \frac{b_T}{2} - 1)\\
&= (i_P + i_T) + \frac{(b_P + b_T)}{2} - 2\\
&= i_{PT} - (c - 2) + \frac{(b_{PT} + 2(c - 2) + 2)}{2} - 2\\
&= i_{PT} + \frac{b_{PT}}{2} - 1
\end{align}

ហេតុនេះប្រសិនទ្រឹស្តីបទនេះពិតចំពោះពហុកោណដែលត្រូវបានសង់ពី n ត្រីកោណ នោះទ្រឹស្តីបទនេះក៏ពិតចំពោះពហុកោណដែលត្រូវបានសង់ពី (n+1) ត្រីកោណដែរ។ ដើម្បីបញ្ចប់ការសំរាយបញ្ជាក់នេះដោយប្រើវិចារកំនើនគណិតវិទ្យា ត្រូវបង្ហាញថាទ្រឹស្តីបទនេះពិតចំពោះត្រីកោណ។ មានបីជំហានសំរាប់បញ្ជាក់អំនះអំនាងនេះ៖

  • ផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់ថា​រូបមន្តនេះ​ពិតចំពោះគ្រប់ចតុកោណកែងដែលមានជ្រុងស្របនឹងអ័ក្ស
  • ផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយចេញពីករណីត្រីកោណកែងដែលគេទទួលបានដោយកាត់ចតុកោណកែងតាមបណ្តោយអង្កត់ទ្រូង
  • ឥឡូវ ចំពោះគ្រប់ត្រីកោណអាចប្តូរជាចតុកោណកែងដោយភ្ជាប់ (យ៉ាងណាស់បី) ត្រីកោណកែង

ដោយរូបមន្តនេះពិតចំពោះត្រីកោណកែង និង ចំពោះចតុកោណកែង វាក៏ពិតចំពោះត្រីកោណដើមផងដែរ។

ជំហានចុងក្រោយប្រើការពិតដែលថា ប្រសិនទ្រឹស្តីបទពិតចំពោះពហុកោណ PT និង ចំពោះត្រីកោណ T នោះវាក៏ពិតចំពោះ P ដែល។ វាអាច​ត្រូវ​បាន​គេមើលឃើញ​ដោយ​ការគណនា​ដូចគ្នា​ចំពោះពហុកោណ​ដែលបានបង្ហាញខាងលើ។

About rckbook

I'm a person who like reading books in free time.

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s