រូបមន្តដឺម័រ

រូបមន្តដឺម័រ (De Moivre’s formula) ត្រូវបានគេហៅដោយយកតាមឈ្មោះរបស់លោក អាប្រាហាម ដឺ ម័រ (Abraham de Moivre) ដែលជាជនជាតិបារាំង ដោយបានចែងថាចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច(និងជាពិសេសចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត) x និង គ្រប់ចំនួនគត់ n គេបាន

\color{blue} \left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right)\,

រូបមន្តនេះមានសារៈសំខាន់ពីព្រោះវាភ្ជាប់ចំនួនកុំផ្លិច (i តំណាងអោយឯកតានិម្មិត) និង ត្រីកោណមាត្រ ។ កន្សោម \cos x + i\sin x \, គឺជួនការត្រូវបានគេសរសេរកាត់ជា cis x \, ។

 

រូមមន្តដឺម័រអាចត្រូវបានទាញចេញដោយងាយដោយប្រើរូបមន្តអយល័រ

ការទាញយករូបមន្តដឺម័រ

e^{ix} = \cos x + i\sin x\,

និងតាមទ្រឹស្តីបទអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} \, ។

តាមរូបមន្តអយល័រ គេបាន

e^{i(nx)} = \cos(nx) + i\sin(nx) \, ។

សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្ត

គេមាន x\in\mathbb{R}

យើងសិក្សា៣ករណី

(១). ករណី 0 \,” /> យើងបកស្រាយប្រើវិចារកំនើន។ នៅពេល n = 1 \, លទ្ធផលគឺពិតជាត្រឹមត្រូវ។ តាមសម្មតិកម្ម យើងសន្មតថាលទ្ធផល​គឺពិតចំពោះ​គ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន k \, គឺថា

\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right) \,

យើងបាន

  • ចំពោះ n=1 ; \quad  \Rightarrow (\cos x + i \sin x)^1 =   \cos (1 \cdot x) + i \sin (1 \cdot x) \qquad \,     ពិត
  • ចំពោះ n=2 \,;
    \begin{align} \Rightarrow (\cos x + i \sin x)^2 &=  \cos^2 x -\sin^2 x + 2i \cos x \sin x \\ &=\cos (2 \cdot x) + i \sin (2 \cdot x) \qquad \\ \end{align}
    សមីការផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះ n = 2 ដែរ
  • ឧបមាថាវាពិតដល់ n=k+1 \;  គេបាន

 


\begin{alignat}{2}
    \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\
                                      & = \left[\cos\left(kx\right) + i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+i\sin x\right) &&\qquad \\
                                      & = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left[\cos \left(kx\right) \sin x + \sin \left(kx\right) \cos x\right]\\
                                      & = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\sin \left[ \left(k+1\right) x \right] &&\qquad 
\end{alignat}

យើងសន្និដ្ឋានថាលទ្ធផលពិតចំពោះ n = k + 1 \, នៅពេលដែល n = k \, ។ តាមគោលការណ៍វិចារកំនើនគណិតវិទ្យា លទ្ធផលពិតចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន n \ge 1 \,

(២). ករណី n = 0 \, រូបមន្តពិតព្រោះ \cos (0x) + i\sin (0x) = 1 + i0 = 1 \,, គេអាចសន្មត z0 = 1 ។

(៣). ករណី <img src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/km/math/e/0/f/e0f3bb7b296043b4b5d06aa20b93efb7.png&quot; alt=" n  យើងសន្មតមានចំនួនពិតវិជ្ជមាន m \, ដែល n = -m  \, ។ ដូចនេះ


\begin{align}
     \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\sin x\right)^{-m}\\
                                       & = \frac{1}{\left(\cos x + i\sin x\right)^{m}}\\
                                       & = \frac{1}{\left(\cos mx + i\sin mx\right)}\\
                                       & = \cos\left(mx\right) - i\sin\left(mx\right)\\
                                       & = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\
                                       & = \cos\left(nx\right) + i\sin\left(nx\right)
\end{align}

ដូចនេះរូបមន្តពិតចំពោះគ្រប់តំលៃជាចំនួនគត់នៃ n ។

លក្ខណៈទូទៅ

ប្រសិនបើ z និង w’ គឺជាចំនួនកុំផ្លិច នោះគេបាន

\left(\cos z + i\sin z\right)^w

គឺជាអនុគមន៍មានតំលៃច្រើន ដែល

\cos (wz) + i \sin (wz)\,

មិនមែន។ ដូចនេះគេអាចពោលថា

\cos (wz) + i \sin (wz) \,   គឺជាតំលៃមួយនៃ   \left(\cos z + i\sin z\right)^w \,

គំនូសមនៅលើ ប្លង់កុំផ្លិចនៃរឹសគូបនៃ១

អនុវត្ត

រូបមន្តនេះអាចត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីរករឹសទី n នៃចំនួនកុំផ្លិច។ ប្រសិនបើ z ជាចំនួនកុំផ្លិច សរសេរក្នុងទំរង់ប៉ូលែរជា

z=r\left(\cos x+i\sin x\right) \,

គេបាន


     z^{{}^{\frac{1}{n}}}= \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^ {{}^{\frac{1}{n}}}= r^{{}^{\frac{1}{n}}} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]

ដែល k ជាចំនួនគត់។ ដើម្បីទទួល n រឹសផ្សេងៗគ្នានៃ z ចាំបាច់ត្រូវការអោយតំលៃនៃ k ពី 0 ដល់ n-1 ។

About rckbook

I'm a person who like reading books in free time.

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s