រូបមន្តអយល័រ

រូបមន្តអយល័រ e = cos φ + isin φ

រូបមន្ត​អយល័រ​ (Euler’s formula) យកឈ្មោះតាមលោក លេអុនហាដ អយល័រ (Leonhard Euler) គឺជា​រូបមន្ត​គណិតវិទ្យា​ក្នុង​ការ​គណនា​​កុំផ្លិចដែលបង្ហាញ​ទំនាក់ទំនង​យ៉ាង​ជិតស្និត​រវាង​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និង អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល​កុំផ្លិច។

រូបមន្តអយល័រពោលថា​ចំពោះគ្រប់​ចំនួនពិត​ \ x គេបាន

\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x

ដែល

  • \ e គឺជា​គោលនៃលោការីតនេពែ (លោការីតធម្មជាតិ)
  • \ i គឺជា​ឯកតានិម្មិត (ឬហៅថា​ចំនួននិម្មិត)
  • \ \sin និង \ \cos  គឺជា​​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

រូបមន្ត​អយល័រ​នៅតែពិតបើទោះបីជា \ x ជា​ចំនួនកុំផ្លិច​ក៏ដោយ​។


រូបមន្តអយល័រ​ត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់​ដំបូង​ដោយ 
រ៉ូចឺ កូត្ស Roger Cotes ក្នុងឆ្នាំ ១៧១៤ ជារាង

ប្រវត្តិ

 \ln(\cos x + i\sin x)=ix \

(ដែល ln តំណាងអោយ​លោការីតនេពែ (ឬហៅម្យ៉ាងទៀតថា​លោការីតធម្មជាតិ) មានន័យថាជា​​លោការីត log ដែលមានគោល e)

លោក​អយល័រ​​ជាអ្នកបោះពុម្ព​រូបមន្ត​ជា​រាង​បច្ចប្បន្ន​នេះ​នៅ​ឆ្នាំ​១៧៤៨ ដែលជាមូលដ្ឋានគ្រឹះ​សំរាប់សំរាយបញ្ជាក់​របស់​គាត់​ចំពោះ​ស៊េរីអនន្ត​ពីរ​ស្មើគ្នា។ អ្នកទាំងពីរ​មិន​បាន​បង្ហាញ​តំណាងធរណីមាត្រ​នៃ​រូបមន្តទេៈ តំណាង​នៃ​ចំនួនកុំផ្លិច​ជា​ចំនុច​នៅ​ក្នុង​ប្លង់កុំផ្លិច​បានលេចឡើង​នៅ​៥០ឆ្នាំ​ក្រោយ​មក។​ លោក អយល័រ​បាន​ចាត់ទុក​វា​ជាធម្មតា​ដើម្បី​ណែនាំ​ទៅ​កាន់​សិស្ស​របស់​គាត់​អំពី​ចំនួនកុំផ្លិច​​មាន​ភាពស្រួល​ច្រើនជាង​អ្វី​ដែល​ពួកយើង​ធ្វើ​សព្វថ្ងៃ។ នៅក្នុង​សៀវភៅពិជគណិតថ្នាក់ដំបូងរបស់គាត់ (elementary algebra text book) គាត់​បាន​ណែនាំ​អំពី​ចំនួន​ទាំងនេះ​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​ម្តង និង​បាន​ប្រើប្រាស់​​ពួកវា​តាម​រយៈ​វិធីសាស្រ្ត​ធម្មតា។

ការអនុវត្តក្នុងទ្រឹស្តីចំនួនកុំផ្លិច

\ e^{ix}គូសជា​រង្វង់ត្រីកោណមាត្រក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

រូបមន្ត​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​បកស្រាយ​ដោយ​និយាយថា អនុគមន៍ \ e^{ix} គូសជា​រង្វង់ត្រីកោណមាត្រក្នុងប្លង់កុំផ្លិចជា \ x រ៉ាដ្យង់​តាមរយះចំនួនពិត ។ ទីនេះ \ x គឺជា​មុំ​ដែល​បន្ទាត់​មួយ​ភ្ជាប់​គល់​តំរុយ​ជា​មួយ​ចំនុច​មួយ​នៅ​លើ​រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ​បង្កើត​ជាមួយ​អ័ក្សពិត​ផ្នែក​វិជ្ជមាន​តាម​ទិសដៅ​ដូច​ទ្រនិចនាឡិកា​និង​គិតជា​រ៉ាដ្យង់​។

សំរាយបញ្ជាក់​ដើម​គឺ​ពឹងផ្អែក​ទៅ​លើ​ការពន្លាត​ជា​​ស៊េរីតេល័រ​នៃ​អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល \ e^z (ដែល \ z ជា​ចំនួនកុំផ្លិច​) និង​ការពន្លាតជា​ស៊េរីតេល័រ​​នៃ​អនុគមន៍ស៊ីនុស \ \sin x និង កូស៊ីនុស \ \cos ចំពោះ​ចំនួនពិត \ x ។ តាម​ពិត​សំរាយបញ្ជាក់​ដូចគ្នា​បង្ហាញ​ថា​​រូបមន្តអយល័រ​ពិតផងដែរ​ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួនកុំផ្លិច \ z ។

ចំនុច​មួយ​នៅ​ក្នុង​ប្លង់កុំផ្លិចអាច​​ត្រូវ​បាន​​បង្ហាញ​​ជា​​ចំនួនកុំផ្លិច​ដៅ​ក្នុង​ប្រព័ន្ធកូអរដោនេដេកាត​។ រូបមន្តអយល័រផ្តល់នូវតំលៃមធ្យមនៃគំលាតរវាងកូអរដោនេដេកាតនិង កូអរដោនេប៉ូលែរ។ ទំរង់ប៉ូលែរបន្ថយចំនួណតួពីពីរទៅមួយ ដែលសំរួលក្នុងគណិតវិទ្យា​នៅពេលដែល​វា​ត្រូវបាន​គេ​ប្រើប្រាស់​ក្នុង​ប្រមាណវិធីគុណ​ឬ​ស្វ័យគុណ​នៃ​ចំនួនកុំផ្លិច​។ ចំនួនកុំផ្លិច \ z = x + iy អាចសរសេរជា

 z = x + iy = |z| (\cos \theta+ i\sin \theta) = |z| e^{i \theta}= r e^{i \theta} \,
 \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \theta- i\sin \theta) = |z| e^{-i \theta}= r e^{-i \theta} \,

ដែល

 x = \mathrm{Re}\{z\} \, គឺជា​ផ្នែកពិត
 y = \mathrm{Im}\{z\} \, គឺជា​ផ្នែកនិម្មិត
|z| = r = \sqrt{x^2+y^2} គឺជាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច
\ \bar{z} ជា​ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់​នៃ​ \ z
\theta= \arctan (\frac{y}{x}) គឺជា​អាគុយម៉ង់​នៃចំនួនកុំផ្លិច

\ \theta គឺជាអាគុយម៉ងនៃចំនួនកុំផ្លិច មានន័យថាគឺជាមុំរវាងអ័ក្សពិត \ x និង វ៉ិចទ័រ \ z វាស់ក្នុងទិសដៅស្របនឹង​ទ្រនិច​នាឡិកា​និង​​គិត​ជា​រ៉ាដ្យង់​។

យើង​អាច​ប្រើ​រូបមន្តអយល័រ​ដើម្បី​កំនត់​លោការីត​នៃ​ចំនួនកុំផ្លិច​មួយ​។ យើង​ក៏​អាច​ប្រើ​និយមន័យ​នៃ​លោការីត​​ (ជាឆ្លាស់នៃ​អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល)​ ដែល

a = e^{\ln (a)}\,

និង

e^a  e^b = e^{a + b}\,

ទំនាក់ទំនងទាំងពីរពិតចំពោះគ្រប់​ចំនួនកុំផ្លិច a និង b ។ ហេតុនេះយើងអាចសរសេរ

 z = |z| e^{i \theta} = e^{\ln |z|} e^{i \theta} = e^{\ln |z| + i \theta}\,

ចំពោះ z\ne 0 ។ បំលាក់​លោការីត​លើអង្គទាំងសងខាង យើងបាន

\ln z= \ln |z| + i \theta \,

តាមពិតទំនាក់ទំនងនេះអាចត្រូវបានគេប្រើដើម្បីកំនត់និយមន័យសំរាប់​កុំផ្លិចលោការីត​។ លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លចមួយគឺជា​អនុគមន៍មានពហុតំលៃ ពីព្រោះ \theta \, មានពហុតំលៃ (មានតំលៃច្រើន) ។

ចុងក្រោយ រូបមន្តអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

(e^a)^k = e^{a k} \,

ផ្ទៀងផ្ទាត់​ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួនគត់​ \ k រួមជាមួយ​រូបមន្តអយល័រ​ ដែលជាប់ទាក់ទងផងដែរនូវរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និង រូបមន្តដឺម័រ​។

ទំនាក់ទំនងចំពោះត្រីកោណមាត្រ

\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}
\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}

សមីការ​ទាំងពីរ​ខាងលើ​អាច​ទាញបាន​ដោយ​ការបូក​ឬ​ដករូបមន្ត​អយល័រ៖

e^{ix} = \cos x + i \sin x \;
e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x)  = \cos x - i \sin x \;

រូបមន្ត​ទាំងនេះ​ផ្តល់​និយមន័យ​អោយ​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ​ចំពោះអាគុយម៉ង់ \ x នៃចំនួនកុំផ្លិច ។

ឧទាហរណ៍៖ តាង \ x = iy គេបាន

 \cos(iy) =  {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y)
 \sin(iy) =  {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -i\sinh(y)

អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិចអាចសំរួលជាត្រីកោណមាត្រ ពីព្រោះវាងាយស្រួលសំរួលជាងស៊ីនុយសូអ៊ីត។​ គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីតជាកន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ឧទាហរណ៍៖


\begin{align}
\cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\
& = \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4} \\
& = \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4}+\frac{e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}}{4} \\
& = \frac{\cos(x+y)}{2} + \frac{\cos(x-y)}{2}
\end{align}

គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីត​ជា​​ផ្នែកពិត​​នៃកន្សោម​ចំនួនកុំផ្លិច​ និង សរសេរជាកន្សោមនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ឧទាហរណ៍៖


\begin{align}
\cos(nx)+\cos((n-2)x) & = \mathrm{Re} \{\quad e^{inx}+e^{i(n-2)x}\quad \} \\
& = \mathrm{Re} \{\quad e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix})\quad \} \\
& = \mathrm{Re} \{\quad e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x\quad \} \\
& = 2\cos((n-1)x)\cos x
\end{align}

រូបមន្ត​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើប្រាស់​ដើម្បី​បង្កើត​របត់​ស៊ីនុយសូអ៊ីត​នៅចន្លោះ x រ៉ាដ្យង់​។

សំរាយបញ្ជាក់

សំរាយបញ្ជាក់​ដោយប្រើ​ស៊េរីតេល័រ

ការពន្លាត​ជា​ស៊េរី​នៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល​ដែលមានអថេរជាចំនួនពិត x អាចសរសេរ

 e^x = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... 
           = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

និងអាចបន្លាយដល់​ចំនួនកុំផ្លិច x ។

ពន្លាតជាស៊េរីតេល័រចំពោះអនុគមន៍ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុសគឺ

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}}x^{2n}
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}

ដើម្បីសំរួលសមីការនេះ យើងប្រើលក្ខណៈគ្រឹះខាងក្រោម


  i^0 = 1, \qquad
  i^1 = i, \qquad
  i^2 = -1, \qquad
  i^3 = -i, \qquad
  i^4 = 1, \ldots

ជាទូទៅចំពោះគ្រប់អិចស្ប៉ូសង់ជាចំនួនគត់ n គេបាន


  i^{\,4n} = 1, \qquad
  i^{\,4n+1} = i, \qquad
  i^{\,4n+2} = -1, \qquad
  i^{\,4n+3} = -i

ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច z យើងកំនត់អនុគមន៍និមួយៗទាំងនេះដោយស៊េរីខាងលើ ជំនួសអថេរពិត x ដោយអថេរកុំផ្លិច z ។ យើងបាន

\begin{align}
 e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\
        &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\
        &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\
        &{}= \cos z + i\sin z
\end{align}

ដូចនេះគេបានរូបមន្តអយល័រ ដូចដែលបានពោល៖

\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x

សំរាយបញ្ជាក់​ដោយ​ប្រើ​ដេរីវេ

គេមានអនុគមន៍ \ f (អាចជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិច) នៃអថេរ x កំនត់ដោយ

f(x) = \frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}} \

ដោយយោងតាមរូបមន្តផលគុណ និង ផលចែកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ \ f(x)  គេបានដេរីវេនៃអនុគមន៍ \ f(x)  កំនត់ដោយ

\begin{align}
f'(x) 
&= \displaystyle\frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
&= \displaystyle\frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
&= \displaystyle\frac{-\sin x-i^2\sin x}{e^{ix}} \\
&= \displaystyle\frac{-\sin x-(-1)\sin x}{e^{ix}} \\
&= \displaystyle\frac{-\sin x+\sin x}{e^{ix}} \\
&= 0 
\end{align}

ហេតុនេះ \ f ជា​អនុគមន៍ថេរ​។ គេបាន

f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1
\Rightarrow  \frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=1

ដូចនេះ

\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x

សំរាយបញ្ជាក់​ដោយ​ប្រើ​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល​បែប​ងាយ

តាងអនុគមន៍ ​ f(x)=\cos x+i\sin x \,\!

យើង​បាន

f'(x)=-\sin x+i\cos x=i\cdot \left( i\sin x+\cos x \right)
f'(x)=i\cdot f(x)
\frac{f'(x)}{f(x)}=i
\int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}=\int{i\cdot dx}
\ln \left( f(x) \right)=ix+c
f(x)={e}^{ix+c} \,\!
នោះ {{e}^{ix+c}}=\cos x+i\sin x \,\!
រក​តម្លៃ c \,\! ដោយ​យក x=0 \,\!
នាំឲ្យ {{e}^{c}}=\cos 0+i\sin 0=1 \,\!
\Rightarrow c=0

ដូចនេះ

{{e}^{ix}}=\cos x+i\sin x \,\! ។

សំរាយបញ្ជាក់​ដោយ​ប្រើ​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល​​បែប​ម្យ៉ាង​ទៀត

គេមានអនុគមន៍ \ g(x)  ដែល

\ g(x) = e^{ix}

ដោយចាត់ទុក \ i គឺជា​ចំនួនថេរ ដេរីវេទី១ និង ទី២ នៃ \ g(x) គឺ

g'(x) = i e^{ix} \
g''(x) = i^2 e^{ix} = -e^{ix} \  (ពីព្រោះ \ i^2 = -1)

ចេញ​ពី​ទំនាក់ទំនង​នេះ​គេ​អាច​បង្កើត​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនែអ៊ែរ​លំដាប់២

g''(x) = -g(x) \

g''(x) + g(x) = 0 \

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់២ មានចំលើយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ​ចំនួន​ពីរ​ដែល​ផ្ទៀងផ្ទាត់​វា៖

g_1(x) = \cos x \
g_2(x) = \sin x \

ទាំង \ \cos និង \ \sin គឺជាអនុគមន៍ពិត​ដែលដេរីវេ​ទី២​គឺ​មាន​សញ្ញាអវិជ្ជមាននៃអនុគមន៍ខ្លួនវា។ បន្សំ​លីនេអ៊ែរ​នៃចំលើយ​ចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអូម៉ូសែន​ក៏ជាចំលើយមួយផងដែរ។​ ចំលើយទូទៅនៃសមីការគឺ

\begin{align} g(x) &= A g_1(x) + B g_2(x) \\ &= A \cos x + B \sin x \ \end{align}

ដែល A និង B គឺជាចំនួនថេរ​។ ប៉ុន្តែ​មិនមែន​គ្រប់​តំលៃ​ទាំងអស់​នៃ​ចំនួនថេរ​ទាំងពីរ​នេះ​សុទ្ធ​តែ​ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌដើមដែលគេស្គាល់ចំពោះ \ g(x)  ទេ​៖

g(0) = e^{i0} = 1 \
g'(0) = i e^{i0} = i \

តំលៃនៃលក្ខខណ្ឌដើមជំនួសក្នុងចំលើយទូទៅ

g(0) = A \cos 0 + B \sin 0 = A \
g'(0) = -A \sin 0 + B \cos 0 = B \

គេបាន

g(0) = A = 1 \
g'(0) = B = i \

និង​ចុងក្រោយ

g(x) = e^{ix} = \cos x + i \sin x \

គឺជា​រូបមន្តអយល័រ​។

About rckbook

I'm a person who like reading books in free time.

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s