ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថេរ

គេមានចំនួនពិតថេរ C ។ សន្មតអនុគមន៍ថេរ f មានតំលៃស្មើ C គេបាន៖

 

\forall x\in\mathbb{R}, \forall h\in\mathbb{R^*}, \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =  \frac{C-C}{h} = 0

ដូច្នេះ

\color{blue}\forall x\in\mathbb{R}, f'(x)  =  \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0 ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ចំនួនថេរគឺស្មើសូន្យ

ឧទាហរណ៍៖គណនាដេរីនៃ f(x) = 25 ។

f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-25}{h} =  \lim_{h\rightarrow 0} \frac{(25-25)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{0}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} 0 = 0

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី១

គេមានក្រាបនៃអនុគមន៍ f(x) = 5x – 1 ។ គណនាមេគុណប្រាប់ទិសនៃក្រាប f(x) ត្រង់ចំនុចដែលមានកូអរដោនេ (2,6)។

គេបាន


\begin{align}
f'(2) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}           \\
      &= \lim_{h\to 0}\frac{5(2+h)-1-(5\cdot 2-1)}{h} \\
      &= \lim_{h\to 0}\frac{10+5h-1-10+1}{h}            \\
      &= \lim_{h\to 0}\frac{5h}{h}                    \\
      &= 5
\end{align}

ដូចនេះតំលៃនៃមេគុណប្រាប់​ត្រង់ចំនុចមួយ​នៃអនុគមន៍ជាតំលៃដេរីវេនៃអនុគមន៍​ត្រង់ចំនុចនោះ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី២ (អនុគមន៍ការ៉េ)

ឧបមាថាគេមានអនុគមន៍ f កំនត់លើ \mathbb{R} ដោយ

\forall x\in\mathbb{R}, f(x)=x^2
\forall x\in\mathbb{R}, \forall h\in\mathbb{R}^*,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}

គេអាចកំនត់មេគុណប្រាប់ទិសនៃខ្សែកោងតាមរយៈដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍មេគុណប្រាប់ទិសនៃខ្សែកោង f(x) = x2 កំនត់ដោយ

 f'(x)\, = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
 = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h}
 = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}
 = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh + h^2}{h}
 = \lim_{h\rightarrow 0}(2x + h) = 2x

ចំពោះគ្រប់តំលៃ x, មេគុណប្រាប់ទិសនៃអនុគមន៍ f(x)=x^2 \, គឺ f'(x)=2x \, ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ពហុធាដឺក្រេទី n

សំរាយបញ្ជាក់ :

គេមានអនុគមន៍ f:

f(x)=x^{n}\, កំនត់លើ {I}\,
h\not=0
\forall a\in{I},\forall {(a+h)}\in{I}\,

 

t(h)= \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

t(h)=\frac{(a+h)^n-a^n}{h}

t(h)=\frac{(a^n+na^{n-1}h+p_3a^{n-2}h^{2}+p_4a^{n-3}h^{3}...p_{n}ah^{n-1}+p_{n+1}h^{n})-a^n}{h}

ដែលមេគុណ pi ត្រូវបានអោយដោយត្រីកោណប៉ាស្កាល់ ( p1 = 1 និង p2 = n)។ គេអាចបំបាត់ an តាម h ។
t(h)=na^{n-1}+p_3a^{n-2}h+p_4a^{n-3}h^{2}...p_{n}ah^{n-2}+p_{n+1}h^{n-1}\,
ដូចនេះ : f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}t(h)= na^{n-1}
សំគាល់: អនុគមន៍គ្រប់ n អាចអោយគេរកបាននូវដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាស់ និងរឺសទី n របស់វា។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើ n < 2 នោះអនុគមន៍នឹងមិនមានដេរីវេត្រង់ ០ ទេ។

ឧទាហរណ៍ដេរីវេរីនៃអនុគមន៍ពហុធាដឺក្រេទី៣

ចូរគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម

y=2x^3+6x^2-4x+\frac{9}{\pi} \,

y=-x^3-5x^2+\frac{2}{3}x-1 \,

y=\frac{5}{17}x^3+x^2-2x+e \,

ដេរីវេ:

.. y=2x^3+6x^2-4x+\frac{9}{\pi}\,

y'=(2x^3)'+(6x^2)'-(4x)'+\left ( \frac{9}{\pi} \right )'\,

y'=6x^2+12x-4+0\,

y'=2(3x^2+6x-2)\,
.. y=-x^3-5x^2+\frac{2}{3}x-1\,

y'=-(x^3)'-(5x^2)'+\left (\frac{2}{3}x\right )'-(1)'\,

y'=-3x^2-10x+\frac{2}{3}-0\,

y'=-3x^2-10x+\frac{2}{3}\,
y=\frac{5}{17}x^3+x^2-2x+e\,

y'=\left (\frac{5}{17}x^3\right )'+(x^2)'-(2x)'+(e)'\,

y'=\frac{5\times 3x^2}{17}+2x-2+0\,

y'=\frac{15x^2}{17}+2x-2\,

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញារឹស √

ឧបមាគេមានអនុគមន៍ f (x) = \sqrt {x}

-x, f'(x)= \quad\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h} – \sqrt{x}}{h}” />
=\frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}
 = \frac{x+h - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}

គេបាន

\forall x\in\mathbb{R}_+^*, f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}= \frac{1}{2 \sqrt{x}}

ម្យ៉ាងទៀត

\forall h\in\mathbb{R}_+^*, \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=+\infty

ដូច្នេះ f គ្មានដេរីវេត្រង់ ០ ទេ។

 

  • ដូចគ្នាដែរចំពោះឧទាហរណ៍ខាងលើ ប៉ុន្តែឥឡូវយើងរកដេរីវេនៃដេរីវេ (មានន័យថារកដេរីវេទី២នៃអនុគមន៍  f(x) = \sqrt{x}  )

ឧបមាថាគេមាន  f(x) = \sqrt{x} :

នោះគេបានដេរីវេទី២នៃ f(x) កំនត់ដោយ


\begin{align}
f''(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h} \\
       &= \lim_{h\to 0} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x+h}}-\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{h} \\
       &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{2h}\left(\frac{1}{\sqrt{x+h}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \\
       &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{2h}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+h}}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}} \right) \\
       &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{2h}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+h}}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}} \times \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x+h}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+h}}\right) \\
       &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{2h}\left(\frac{x - (x+h)}{x\sqrt{x+h} + (x+h)\sqrt{x} } \right) \\
       &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{2}\left(\frac{-1}{x\sqrt{x+h} + (x+h)\sqrt{x} } \right) \\
       &= \frac{1}{2}\left(\frac{-1}{x\sqrt{x} + x\sqrt{x} } \right) \\
       &= -\frac{1}{4 x \sqrt{x}}
\end{align}

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលមានស្វ័យគុណជាចំនួនពិត b

គេមានអនុគមន៍ y ដែល

y(x)=ax^b \qquad a\not=0,b\in\R

នោះគេបានដេរីវេបន្តបន្ទាប់នៃ y កំនត់ដោយ


\begin{align}
y'(x) & = abx^{b-1} \\
y''(x) & = ab(b-1)x^{b-2} \\
y'''(x) & = ab(b-1)(b-2)x^{b-3} \\
y^{(4)}(x) & = ab(b-1)(b-2)(b-3)x^{b-4} \\
      \cdots &    \cdots \cdots \cdots  \cdots \\
y^{(n)}(x) & = ab(b-1)(b-2)(b-3) \cdots (b-n+1)x^{b-n} \\
                & = a\prod_{k=0}^{n-1}(b-k) \cdot x^{b-n} \\
\end{align}

ដូចនេះគេបានដេរីវេទី n នៃ y ត្រូវបានផ្តល់អោយនៅលើចន្លោះកំនត់ជាក់លាក់ដោយកន្សោមខាងក្រោម៖

\forall n\in\N^*\qquad:\qquad y^{(n)}(x)=a\prod_{k=0}^{n-1}(b-k) \cdot x^{b-n}

About rckbook

I'm a person who like reading books in free time.

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s