ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា

ក្នុងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា (Binomial Theorem) ឬ រូបមន្តទ្វេធាញូតុន​ ឬ ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាញូតុន​​គឺជារូបមន្តដ៏មានសារៈសំខាន់មួយក្នុងការពន្លាតកន្សោមស្វ័យគុណ​នៃផលបូក។ ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ឬ ចំនួនកុំផ្លិច a b និង n ជាចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមានគេបាន

(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^{n-k}b^{k}

ដែល  {n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}  ជា​មេគុណទ្វេធា និង \ n!  តំណាងអោយ​ហ្វាក់តូរ្យែល​នៃ n ។

ឧទាហរណ៍ចំពោះ 2 ≤ n ≤ 5 ៖

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\,
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\,
(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\,
(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 +5ab^4 + b^5 \,

 

ប្រភេទទ្វេធា

ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាអាចត្រូវបានគេពោលដោយនិយាយថាស៊្វីតពហុធា

 \left\{\,x^k:k=0,1,2,\dots\,\right\}\,

គឺជាប្រភេទទ្វេធា។

សំរាយបញ្ជាក់

វិធីសាស្ត្រមួយបកស្រាយទ្រឹស្តីបទទ្វេធាគឺប្រើ​វិចារកំនើនគណិតវិទ្យា (mathematical induction) ។

  • n=0~,\qquad(a+b)^0=1={0 \choose 0}a^0b^0
  • n=1~,\qquad(a+b)^1= a + b ={1 \choose 0}a^1b^0 + {1 \choose 1}a^0b^1

គេមាន n ជាចំនួនគត់​ធំជាងឬស្មើមួយ យើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់ថាប្រសិនបើទំនាក់ទំនងនេះពិតចំពោះ n នោះយើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់ថាវាពិតផងដែរចំពោះ n+1

តាមសម្មតិកម្មនៃវិចារកំនើតយើងបាន

(a+b)^{n+1}=(a+b)\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k

ដោយការពន្លាតកន្សោមគេបាន

(a+b)^{n+1}=a^{n+1}+a\cdot\sum_{k=1}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k 
+b\cdot\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} a^{n-k} b^k
+ b^{n+1}

ដោយការដាក់ជាកក្តា យើងបាន

(a+b)^{n+1} =a^{n+1}+\sum_{k=1}^n \left\lbrack {{n} \choose {k}} + {{n} \choose {k-1}} \right\rbrack a^{n-k+1} b^{k}+ b^{n+1}

ដោយប្រើប្រាស់រូបមន្ត​ត្រីកោណប៉ាស្កាល់​យើងបាន៖

(a+b)^{n+1} =a^{n+1}+\sum_{k=1}^n {{n+1}\choose k}~a^{n-k+1} b^{k}+b^{n+1}

ហេតុនេះទំនាក់ទំនងនេះពិតចំពោះ n+1 ដែរ។

ដូចនេះ

(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^{n-k}b^{k}

ចំនួនទ្វេធា

ចំនួនទ្វេធា (binomial number) គឺជាចំនួនដែលមានរាង \scriptstyle x^n \,\pm\, b^n (ចំពោះ n ធំជាងឬស្មើ 2) ។ នៅពេលសញ្ញាដក ឬ n គឺ​ជា​ចំនួនសេស ចំនួនទ្វេធា​នេះ​អាច​ដាក់​ជា​ផលគុណកក្តា៖

a^n\pm b^n=(a\pm b)(a^{n-1} \mp a^{n-2}b + \cdots \mp ab^{n-2} + ^{n-1})\,

ឧទាហរណ៍៖

a^2-b^2=(a-b)(a+b)\,
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,
a^8-b^8=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)\,

ដាក់ \scriptstyle a^n\,-\,b^n ជាកក្តា

a^n-b^n=(a-b) \left( \sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k} \right)

លក្ខណៈទូទៅ

ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាត្រូវបានធ្វើអោយទៅជាទូទៅដោយលោក អ៊ីសាក់ ញូតុន (Isaac Newton) ដែលបានប្រើស៊េរីអនន្ត (infinite series) ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច។ ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិតឬចំនួនកុំផ្លិច \ a; \quad b និង \ rគេបាន

(a+b)^r = \sum_{k=0}^{\infty}\binom{r}{k}a^{r-k}b^k

សំរាយបញ្ជាក់

គេមានអនុគមន៍ \ f(b)=(a+b)^r ចំពោះចំនួនថេរ \ a,r។ វាមានភាពស្រួលក្នុងការមើលថា \frac{d^k}{db^k}f=r(r-1)\cdots(r-k+1)(a+b)^{r-k} ។ នោះយើងបាន \frac{d^k}{db^k}f(0)=r(r-1)\cdots(r-k+1)a^{r-k} ។ ហេតុនេះស៊េរីតេល័រចំពោះ \ f(b) ផ្ចិត \ 0 គឺ

(a+b)^k=\sum_{k=0}^\infty \frac{r(r-1)\cdots(r-k+1)a^{r-k}b^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty \binom{r}{k}a^{r-k}b^k

Advertisements

About rckbook

I'm a person who like reading books in free time.

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s